Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Notasi Himpunan
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
-
Notasi Contoh Himpunan Huruf besar S Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a Kelas Huruf tulisan tangan
-
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks Notasi
-
Simbol Arti {} atau Himpunan kosong Operasi gabungan dua himpunan Operasi irisan dua himpunan , , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati AC Komplemen Himpunan kuasa
- Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
- Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Himpunan kosong
Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Relasi antar himpunan
Subhimpunan
Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.- {apel, jeruk}
- {jeruk, pisang}
- {apel, mangga, pisang}
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.
Untuk sembarang himpunan A,
Untuk sembarang himpunan A,
Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.
Superhimpunan
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.Kesamaan dua himpunan
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :
{ { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga, pisang} }Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
Kelas
Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan.
Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .
Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .
Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.- χA(apel) = 1
- χA(durian) = 0
- χA(utara) = 0
- χA(pisang) = 1
- χA(singa) = 0
Representasi Biner
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner ---------------------------- ------------------- a b c d e f g S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1 A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0 B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya.
- Operasi gabungan setara dengan A or B
- Operasi irisan setara dengan A and B
- Operasi komplemen AC setara dengan not A
Referensi
- Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
- Delphi 5 Memory Management
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Terima Kasih